Ахлах жилдээ дээд математикийн чиглэлээр сурч байсан олон оюутнууд дифференциал тэгшитгэл (DE) -ийг практикт хаана ашигладаг вэ гэж гайхаж байсан байх. Дүрмээр бол энэ асуудлыг лекц дээр хэлэлцдэггүй бөгөөд багш нар дифференциал тэгшитгэлийг бодит амьдрал дээр хэрхэн ашиглахыг оюутнуудад тайлбарлахгүйгээр шууд DE-ийг шийдвэрлэхэд шилждэг. Бид энэ орон зайг нөхөхийг хичээх болно.
Дифференциал тэгшитгэлийг тодорхойлж эхэлье. Тэгэхээр дифференциал тэгшитгэл гэдэг нь функцийн уламжлалын утгыг функцтэй өөрөө, бие даасан хувьсагчийн утга ба зарим тоонуудтай (параметрүүд) холбосон тэгшитгэл юм.
Дифференциал тэгшитгэлийг ашигладаг хамгийн түгээмэл газар бол байгалийн үзэгдлийн математик дүрслэл юм. Эдгээр нь үйл явцыг дүрсэлсэн зарим утгын хооронд шууд холбоо тогтоох боломжгүй асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг. Ийм асуудал нь биологи, физик, эдийн засгийн салбарт гарч ирдэг.
Биологийн чиглэлээр:
Биологийн бүлгүүдийг дүрсэлсэн анхны утга учиртай математик загвар бол Лотка - Волтерра загвар байв. Энэ нь харилцан шүтэлцээтэй хоёр зүйлийн популяцийг тодорхойлдог. Тэдгээрийн эхнийх нь махчин гэж нэрлэгддэг, хоёр дахь нь байхгүй бол хуулийн дагуу устаж үгүй болдог x – = –ax (a> 0), харин хоёр дахь нь идэш тэжээлгүй бол хуулийн дагуу хязгааргүй үрждэг. Мальтусын. Эдгээр хоёр төрлийн харилцан үйлчлэлийг дараах байдлаар загварчлав. Хохирогчид энэ загварт хоёр популяцийн хэмжээтэй пропорциональ, өөрөөр хэлбэл dxy (d> 0) -тэй тэнцүү гэж үздэг махчин амьтан, олзтой таарсан тоотой тэнцүү хэмжээгээр үхдэг. Тиймээс y ′ = by - dxy байна. Махчин амьтад идсэн махныхаа тоотой пропорциональ хэмжээгээр үрждэг: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Тэгшитгэлийн систем
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = by - dxy, (2)
ийм популяцийг дүрсэлсэн махчин амьтныг Лотка-Волтерра систем (эсвэл загвар) гэж нэрлэдэг.
Физикт:
Ньютоны хоёр дахь хуулийг дифференциал тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), энд m нь биеийн масс, x нь түүний координат, F (x, t) нь t цаг хугацааны үед координаттай биенд үйлчлэх хүч юм. Үүний шийдэл нь заасан хүчний үйлчлэлээр явагдах биеийн зам юм.
Эдийн засгийн чиглэлээр:
Бүтээгдэхүүний байгалийн өсөлтийн загвар
Зарим бүтээгдэхүүнийг тогтмол үнээр зарж борлуулдаг гэж бид тооцох болно. Q (t) t-д зарагдсан бүтээгдэхүүний хэмжээг тэмдэглэе; энэ үед орлого нь PQ (t) -тай тэнцүү байна. Тодорхой орлогын тодорхой хэсгийг зарагдсан бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд хөрөнгө оруулалт хийхэд зарцуул.
I (t) = mPQ (t), (1)
энд m нь хөрөнгө оруулалтын хэмжээ - тогтмол тоо ба 0
